Простые и сложные проценты: понятие и формулы

Начисление процентов — одна из основных операций в экономике и инвестировании. Самый близкий всем пример — депозит в банке, где вложенные деньги в конце периода возвращаются к владельцу с прибылью.

А что будет, если повторить этот цикл несколько раз? Тут то и появляется понятие простых и сложных процентов, которым посвящена эта статья.

Простые и сложные проценты

Инвесторы, которые работают на рынке Форекс, сталкиваются с повторным вложением денег (реинвестированием) постоянно. Если банковские депозиты приносят владельцам прибыль через несколько месяцев или даже год, то на валютном рынке прибыль/убыток появляется после каждой сделки.

Поэтому все, кто интересуется инвестициями на Форексе, будут регулярно работать с простыми и сложными процентами. Давайте же разберемся, что же означают эти понятия.

Простой процент — прибыль по многоразовым вкладам за каждый период времени всегда начисляется только на первоначальную сумму.

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. По схеме простого процента и в первый, и во второй, и в любой другой год прибыль составит 1000$. Чтобы узнать прибыль за N лет, просто умножьте прибыль за один год на число N.

Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов всегда равна начальной сумме вложений. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.

Сложный процент — проценты по многоразовым вкладам за каждый период начисляются на первоначальную сумму и всю полученную до этого прибыль.

Пример: депозит 5000$ под 20% годовых. В первый год прибыль составит 5000$ * 20% = 1000$, во второй (5000$ + 1000$) * 20% = 1200$, в третий (5000$ +1000$ + 1200$) * 20% = 1440$ и так далее.

Каждый раз, когда инвестор хочет несколько раз «прокрутить» свои деньги через инвестиционный инструмент, он сталкивается со сложным процентом. Полученная прибыль на первом круге реинвестируется и проценты уже начисляются на более крупную сумму.

В инвестициях на рынке Форекс сложный процент используется постоянно, потому что сумма вложений меняется после каждой сделки. Многие инвесторы используют тактику «вложил и забыл», оставляя полученную прибыль работать вместе со стартовым вкладом.

Разница между простыми и сложными процентами на первый взгляд кажется не такой уж большой. Но чем больше проходит времени, тем очевиднее становится преимущество сложных процентов:

Простые и сложные проценты на одном графике

Конечно, это всё теория и на практике добиться 30-кратного реинвестирования прибыли совсем непросто. Но факт остаётся фактом — сложные проценты могут сослужить хорошую службу инвестору. И чтобы умело их использовать, нужно правильно их считать, в чём помогут несколько полезных формул.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

Формулы сложных процентов по вкладам и примеры решения задач

Формулы сложных процентов в математике встречаются постоянно, особенно если речь идёт об экономических задачах. Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

• начальная сумма вклада (K нулевая или К0)
• ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
• количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

А конечную сумму вклада мы назовем просто K. Её можно рассчитать по формуле:

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

Для начала, давайте узнаем конечную сумму вклада по формуле:

K = 10000$ * (1 + 0.1)5 = 16105.1$

Прибыль (P) — это разница между конечной и стартовой суммой вклада. Считаем:

P = K — К0 = 16105.1$ — 10000$ = 6105.1$

Можно даже подсчитать прибыль в процентах, для этого нужно найти не разницу, а отношение между конечной и стартовой суммой:

P (%) = K/К0 — 1 = 16105.1$ / 10000$— 1= 61.05%

Используя формулу сложных процентов, вы всегда можете предсказать результат инвестирования в будущем. Впрочем, бывают ситуации, когда вам нужно узнать не конечную, а стартовую сумму вклада. Её можно найти по той же формуле сложных процентов по вкладам, но надо немного её изменить:

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Используем формулу:

К0 = 1000000₽ / (1 + 0.2)3 =  578703.7₽

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

https://www.youtube.com/watch?v=H-wc9le5aAw

Начнем с процентной ставки:

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

Для начала нужно посчитать конечную сумму, так как мы знаем только прибыль:

K = К0 + P = 20000$ + 10000$ = 30000$

А теперь можно использовать формулу:

R = (30000$ / 20000$) 1/3 — 1 = 14.47%

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Напоследок давайте выясним, как рассчитать, на какой срок нужно положить деньги, чтобы получить нужную нам прибыль. Без логарифмов не обойтись:

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Подставляем в формулу:

n = log1+0.25 100000/50000 = 3.11 лет

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Чтобы узнать результат, нужно создать табличку:

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

В первый месяц сумма инвестиций составила 1000$, на неё начислен 1% — итого 1010$. Во второй месяц работают уже 1010$ и еще 50$, которые инвестор внёс дополнительно. Итого — 1070.10. И так далее…

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

Калькулятор сложных процентов от Вебинвеста

Многие формулы сложных процентов в математике на обычном калькуляторе не посчитаешь — нужно использовать специальные программы или сайты. Microsoft Excel позволяет делать практически любые прикладные расчёты быстро и удобно — всего-то нужно скачать файл и работать с ним.

По формулам из статьи я сделал небольшой калькулятор для расчёта сложных процентов. Вот так выглядит одна из страниц:

Скриншот из калькулятора сложных процентов с капитализацией. 

С помощью файла вы сможете решить задачи, которые мы рассматривали по ходу статьи:

• расчёт конечной суммы вклада;
• расчёт начальной суммы вклада;
• расчёт нужной процентной ставки;
• расчёт срока инвестирования;
• расчёт конечной суммы вклада с учётом добавочных вложений или снятия прибыли.

Как получить калькулятор сложных процентов от Вебинвеста? Очень легко — воспользуйтесь формой ниже:

Больше подробностей о калькуляторе сложных процентов вы можете узнать на этой странице.

↑ К СОДЕРЖАНИЮ ↑

Ну что, ощутили магию сложных процентов? Если да, поделитесь статьёй в соцсетях, пусть ваши друзья тоже её почувствуют 🙂

Удачи и терпения в инвестициях!

Видео:Сложный процент | Что такое сложные проценты простыми словами, формула и расчёт сложных процентовСкачать

Формула сложных процентов по вкладам

Любой клиент, выбирая банк для вложения своего капитала, обращает внимание не только на надежность финансового учреждения, но и на процентную ставку, для получения максимального дохода по вкладу.

Однако, необходимо учитывать не столько годовую ставку, сколько принцип начисления прибыли. В сфере финансов есть два метода: простой и сложный процент.

Нужно ознакомиться с формулами и основными параметрами расчетов для понимания, какое из предложений по вкладам будет наиболее выгодным для клиента, при различных условиях заключения договора.

• 1 Простые проценты
• 2 Сложные проценты
• 3 Как выбрать лучшие условия?

Простые проценты

Простой процент означает, что начисление дополнительного дохода происходит единоразово по окончании периода хранения средств. При этом, если действие депозитного договора автоматически продляется, доход за следующий период будет начисляться на первоначальную сумму взноса, без учета процентов за прошлый срок.

https://www.youtube.com/watch?v=clfh5n86VJ8

Простой процент начисляется по формуле:

S= V*(1+P*n/100),

где S – сумма, которую получит клиент по окончании срока действия депозита (первоначальный вклад + начисленный процент),

V – первоначальная сумма вложения,

P – процентная ставка за период,

n – период вложения.

При открытии депозита на 1 год в размере 100 тыс. рублей и 8 % годовых, клиент через год получит 100*(1+8*1/100)=108 тыс. рублей.

• При продлении договора еще на год, по истечении данного периода вкладчик получит такой же доход в 8 тыс. рублей и заберет сумму в 116 тыс.
• Если размещение вклада по договору происходит на короткий период (несколько месяцев), то годовую процентную ставку нужно разделить на 12 месяцев и умножить на период вложения.
• При вложении на полгода вкладчик получит: 100*(1+8/12*6/100) = 104 тыс. рублей.

Сложные проценты

Начисление сложных процентов по депозиту или капитализация – это эффект, при котором процент начисления прибавляется к первоначальной сумме вклада, а на эту сумму вновь происходит начисление процента в следующий период.

Капитализация происходит с разной периодичностью (каждый месяц, раз в полгода и т.п.)

Расчет в этом случае производится по формуле:

S= V*(1+P/100)n,

n в данном случае – количество периодов капитализации.

Например, при годовой сделке на сумму 100 тыс. рублей и 8% за год и ежемесячном начислении процентов, получится:

100*(1+8/100/12)12 = 108,3 тыс. рублей.

• Наглядно видно, что дополнительный доход с учетом капитализации больше, чем получаемый по формуле простого процента.
• Но при выборе лучшего предложения по оформлению вклада с капитализацией, нужно уточнить периодичность начисления процентов. Чем чаще это будет происходить, тем большая сумма получится при закрытии депозитного счета.

Как выбрать лучшие условия?

Начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, в то время как сложные проценты выдают прибыль в прогрессии геометрической.

Это не означает, что для успешного вложения всегда стоит останавливать свой выбор на предложении с капитализацией вклада.

С учетом срока действия депозитного договора, суммы вклада, и (что самое основное) периодичности начисления процентов, не всегда прибыль от капитализации будет больше, чем при заключении договора с одноразовой выплатой процентов в конце периода.

• При заключении договора на 3 месяца и периодичности капитализации в 6 месяцев, клиент заберет свой вклад раньше, чем произойдет начисление процентов. В этом случае оформление простого вклада будет иметь более логичный смысл.
• Также, если есть возможность выбора частоты начисления процентов (каждую неделю, месяц или три месяца), лучше выбрать капитализацию, где проценты будут приходить на счет в более короткие термины. Выбирая между периодичностью начислений в три месяца и один, примите решение в пользу последнего.
• При открытии краткосрочного вклада, клиентам банка нужно учесть, что на день закрытия депозита начисление процентов не происходит. Если вкладчик оформил договор на 2 недели и забирает средства на 14-й день, то начисление процентов будет произведено только за 13 дней.

В тексте депозитного договора буквально не говорится, будет происходить начисление простых или сложных процентов. Поэтому, исходя из условий договора, клиент сам должен понять, о чем идет речь.

Основное отличие:

• Если процент начисляется один раз по окончании срока действия депозита, расчет будет произведен по простой формуле.
• Если указана частота начисления процентов, вы имеете дело с капитализацией.

Самое выгодное для вкладчика:

• депозит с капитализацией,
• ежемесячное начисление процентов,
• возможность пополнения счета.

По таким вкладам, правда, у банков редко бывают высокие процентные ставки. Но здесь уже каждый клиент должен сам искать более выгодное решение.

Видео:Формула сложных процентовСкачать

Простые и сложные проценты в инвестициях — формулы и примеры

В этой статье мы рассмотрим математический вопрос, который играет большую роль в инвестициях: влияние простых и сложных процентов на итоговый результат. Приведём формулы и примеры для расчётов.

Принципы сложных процентов прежде всего будет опираться на действия с деньгами. Поэтому все примеры приведены именно в ключе для инвесторов.

Давайте рассмотрим на реальных примерах с цифрами как работают сложные проценты, чтобы более точно понимать их преимущества, а уже сразу после этого перейдем к описанию вариантов для инвестирования.

1. Сложные проценты — что это такое, формула расчета

Сложный процент — это начисление процентов на уже выплаченные суммы. На большом промежутке времени происходит лавинообразное приращение.

Для обычных граждан самым простым примером является банковский вклад. Если деньги пролежали год на депозите, то на следующий год сумма будет уже больше, поэтому и доход будет выше. И так каждый год.

Формула сложных процентов:

Где

• Dohod – будущая стоимость (конечный результат);
• D – первоначальная сумма инвестиции;
• S – годовая процентная ставка;
• K – частота капитализации (сколько раз в году выплачивается сумма);
• n – количество лет, для которого производится расчет

Формулу сложных процентов с ежемесячным пополнением:Dohod = D × (1 + S/K)N×K + [ sum_popolnenie×((1+ S/K)N×K — 1 ] / (S/K)

Где

• sum_popolnenie – сумма ежемесячного пополнения;

Альберт Эйнштейн назвал сложные проценты самым важным изобретением человечества.

Если ставка одинаковая из года в год, а пополнение происходит один раз в год, то можно вручную быстро рассчитать итоговый доход. Рассчитаем сложные проценты для процентной ставки 10% годовых из года в год:

первый год: 110%второй год: 121% (1.1 × 1.1)третий год: 133.1% (1.1 × 1.1 × 1.1)и т.д.

Закономерность понятна. Надо просто перемножить количество лет на ставку 1.

1 (10%) и сразу получим итоговый доход. К примеру, если бы мы положили сумму 100 тыс. на три года под 10% и каждый раз капитализировали проценты, то в конце трёх лет сумма увеличилась до 133.1 тыс.

Без капитализации было бы 130 тыс.

https://www.youtube.com/watch?v=VHEFGoz2zew

Простые проценты начисляются просто путем добавления к сумме инвестирования (без капитализации). Чтобы рассчитать свой доход нужно просто умножить число лет на годовую доходность.

2. Примеры сложных процентов в инвестициях

Можно смело сказать, что каждый рубль отложенный сегодня принесёт десятки рублей через 10 лет за счёт постоянного реинвестирования прибыли. Подобным образом разбогатели многие миллиардеры (Уоррен Баффет).

Мое богатство — это результат комбинации нескольких факторов жизни в США, хороших генов и аккумулирующего эффекта сложных процентов.

Уоррен Баффет Кривые доходности при сложных и простых процентах

Обратите внимание, что эффект заметен со временем все сильнее и в конце кривая сложных процентов приобретает экспоненциальный характер, в то время как простые проценты растут линейно. Рассмотрим на конкретных примерах этот принцип.

2.1. Пример: инвестируем ежемесячно в банк под 8% (срок 10 лет)

Если откладывать ежемесячно по 10 тысяч рублей «под подушку» или просто на банковский счёт, то через 10 лет (120 месяцев) сумма будет 1.2 млн рублей (120 умножаем на 10 тыс).

Если же откладывать эти деньги на банковский вклад под 8% годовых, то сумма по истечению 10 лет будет значительно больше 1 851 738 рублей. Чистый доход от процентов 641 738 рублей (чуть больше 50% за все время).

Новички по ошибке могут получить неправильную сумму, если просто прибавить 8% к отложенной сумме, но это неверно.

Сложный процент можно посчитать лишь на онлайн калькуляторе или самостоятельно с помощью длительных вычислений.

Расчёты на калькуляторе сложных процентов:

Выписка по балансу:

Примечание

В некоторые периоды можно найти ставку на вкладах гораздо выше 8% и доход был бы в таком случае был заметно больше.

2.2. Пример: инвестируем в банк под 8% (срок 20 лет)

Теперь увеличим срок нашего инвестирования с 10 лет до 20 лет. Мы будем также откладывать по 10 тысяч рублей и всю полученную прибыль реинвестировать. Теперь по истечению срока сумма будет 5 938 760 рублей вместо 2 400 000. Чистый доход от процентов 3 528 760. Эта сумма больше всех суммарных вложений в 1.5 раза (150% прибыли за все время)!

Это наглядный пример того, что чем больший период мы рассматриваем, тем заметнее будет действие сложных процентов.

2.3. Пример: инвестируем в ценные бумаги под 12% (срок 20 лет)

Последний пример депозита в инвестиции. Откладываем по 10 тысяч рублей ежемесячно на протяжении 20 лет, но теперь мы инвестируем деньги в акции и небольшую часть в облигации. Как показала реальная история, такой инвестиционный портфель в среднем за год приносит 12% с учетом дивидендов от акций при самой простой стратегии «купи и держи».

Итого, сумма на конец срока: 9 999 681 рублей. Чистый доход 7 589 681 рублей.

И это не результат везения, не фантастика, а очень реальные цифры дохода, которые доступны каждому лицу! По факту можно даже получить и больше и даже за более короткий срок, если выйти с рынка на его пике, а докупиться в конце цикла падения, но для подобных «маневров» необходимы основы трейдинга и немного времени на совершение торговых операций.

Хочу подчеркнуть, что мы рассмотрели реальные варианты без каких-либо везений и прочее. Такого результата добьется каждый, кто просто вложит в ценные бумаги и не будет дергаться и пытаться что-то еще сделать. Такая стратегия называется: купи и держи.

Примечание

При инвестировании в зарубежные акции доход был бы еще больше (где-то в два раза), поскольку по статистике рубль обесценивается к доллару примерно на 100% каждые 20 лет.

Также важно откладывать в начале как можно больше. Это сильно повышает будущую доходность.

Теперь, понимая силу сложных процентов, поговорим о том, во что лучше всего вложить деньги, чтобы получать пассивный доход. Какие конкретно варианты инвестирования существуют, каковы их риски и преимущества можно прочитать:

Смотрите также видео про сложные проценты:

Видео:ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ И ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВСкачать

Финансовая грамотность | 7.5.1. Способы начисления процентов. Простые и сложные проценты

В за­ви­си­мо­сти от то­го, у ко­го вы взя­ли кре­дит (заём), на ка­кую сум­му и на ка­кой срок, у вас мо­гут быть разные спосо­бы на­чис­ле­ния про­цен­тов, гра­фи­ки пла­те­жей, со­пут­ству­ю­щие комис­сии, штра­фы и пе­ни в слу­чае про­сроч­ки.

Про­цен­ты мо­гут на­чис­лять­ся в кон­це сро­ка кре­ди­та или пе­ри­о­ди­че­ски, до окон­ча­ния сро­ка. При на­чис­ле­нии про­ме­жу­точ­ных про­цен­тов воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ва­ри­ан­ты:

• про­цен­ты сра­зу выпла­чи­ва­ют­ся кре­ди­то­ру и не уве­ли­чи­ва­ют сум­му дол­га;
• про­цен­ты присо­еди­ня­ют­ся к сум­ме дол­га (капи­та­ли­за­ция про­цен­тов), и сле­ду­ю­щее на­чис­ле­ние произ­во­дит­ся уже на воз­росшую сум­му дол­га с уче­том пре­ды­ду­щих про­цен­тов, – то­гда мож­но го­во­рить о «слож­ных про­цен­тах» (впро­чем, в по­тре­би­тель­ском кре­ди­то­ва­нии, со­глас­но пунк­ту 2 ста­тьи 317.1 ГК РФ, слож­ные про­цен­ты ис­поль­зо­вать­ся не долж­ны);
• про­цен­ты от­ра­жа­ют­ся в уче­те кре­ди­то­ра как при­чи­та­ю­щи­е­ся ему, но сле­ду­ю­щее на­чис­ле­ние про­цен­тов произ­во­дит­ся толь­ко на пер­во­на­чаль­ную сум­му дол­га, – то­гда го­во­рят о «про­стых про­цен­тах».

Фор­му­ла про­стых про­цен­тов:

,

где — сум­ма дол­га, — сум­ма дол­га с про­цен­та­ми, r — став­ка про­цен­та за пе­ри­од (обыч­но за 1 год, но мо­гут ис­поль­зо­вать­ся и дру­гие пе­ри­о­ды), n — чис­ло пе­ри­о­дов на­чис­ле­ния.

Если став­ка вы­ра­же­на в го­до­вых про­цен­тах, а про­цен­ты на­до рас­счи­тать за пе­ри­од мень­ше чем год, то при ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы про­стых про­цен­тов необ­хо­ди­мо раз­де­лить го­до­вую став­ку на ко­ли­че­ство дней в го­ду (обыч­но 365 или 366, но ино­гда ис­поль­зу­ет­ся и услов­ная ве­личи­на 360 дней) и умно­жить на фак­ти­че­ское ко­ли­че­ство дней поль­зо­ва­ния заем­ны­ми сред­ства­ми, на­чи­ная со дня, сле­ду­ю­ще­го за днем по­лу­че­ния средств:

,

где — сум­ма дол­га, — сум­ма дол­га с про­цен­та­ми, r — го­до­вая став­ка про­цен­та, m — фак­ти­че­ское ко­ли­че­ство дней поль­зо­ва­ния заем­ны­ми сред­ства­ми.

Фор­му­ла слож­ных про­цен­тов:

где — сум­ма дол­га, — сум­ма дол­га с про­цен­та­ми, r — став­ка про­цен­та за один пе­ри­од (опять-та­ки обыч­но за 1 год, но мо­гут ис­поль­зо­вать­ся и дру­гие пе­ри­о­ды), n — чис­ло пе­ри­о­дов на­чис­ле­ния.

Если став­ка вы­ра­же­на в го­до­вых про­цен­тах, а про­цен­ты на­до рас­счи­тать за пе­ри­од мень­ше чем год, то при ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы слож­ных про­цен­тов необ­хо­ди­мо найти услов­ную од­но­д­нев­ную став­ку, для че­го из ве­личи­ны (1+ r/100) из­вле­кает­ся ко­рень 365 или 366 сте­пе­ни.

А по­том эта ве­личи­на воз­во­дит­ся в сте­пень, со­от­вет­ству­ю­щую фак­ти­че­ско­му ко­ли­че­ству дней поль­зо­ва­ния заем­ны­ми сред­ства­ми (по­нят­но, что это мож­но сде­лать толь­ко с ис­поль­зо­ва­ни­ем вы­чис­ли­тель­ной тех­ни­ки).

То­гда фор­му­ла бу­дет вы­гля­деть сле­ду­ю­щим об­разом:

где — сум­ма дол­га, — сум­ма дол­га с про­цен­та­ми, r — го­до­вая став­ка про­цен­та, m — фак­ти­че­ское ко­ли­че­ство дней поль­зо­ва­ния заем­ны­ми сред­ства­ми.

Слож­ные про­цен­ты слож­нее для рас­че­тов (что бы­ло осо­бен­но зна­чи­мо до изоб­ре­те­ния вы­чис­ли­тель­ной тех­ни­ки), но на дли­тель­ных про­ме­жут­ках вре­ме­ни они эко­но­ми­че­ски бо­лее спра­ведли­вы.

Ведь если заем­щик дол­жен банку про­цен­ты, но не выпла­тил их, зна­чит, он поль­зу­ет­ся как пер­во­на­чаль­ным дол­гом, так и сум­мой про­цен­тов. По­это­му спра­ведли­во на­чис­лять про­цен­ты за сле­ду­ю­щие пе­ри­о­ды на воз­росшую сум­му, а не толь­ко на пер­во­на­чаль­ный долг.

Осо­бен­но яв­но это про­яв­ляет­ся для дол­го­сроч­ных кре­ди­тов со сро­ком бо­лее од­но­го го­да. При­ме­ры с рас­че­та­ми при­ве­де­ны ни­же.

При­мер 2а. Ма­ри­на Ежи­ко­ва 01.04.2014 г. взя­ла заём у со­сед­ки Люд­ми­лы на сум­му 50 000 ру­блей сро­ком на 3 го­да, став­ка 10% го­до­вых, про­цен­ты про­стые, по­га­ше­ние займа вме­сте с про­цен­та­ми в кон­це сро­ка. Ка­кую сум­му выпла­тит Ма­ри­на при по­га­ше­нии займа?

При­мер 2б. Ка­пи­то­ли­на Ди­коб­разо­ва взя­ла заём у со­сед­ки Свет­ла­ны на сум­му 50 000 ру­блей сро­ком на 3 го­да, став­ка 10% го­до­вых, про­цен­ты слож­ные, по­га­ше­ние займа вме­сте с про­цен­та­ми в кон­це сро­ка. Ка­кую сум­му выпла­тит Ма­ри­на при по­га­ше­нии займа?

Ре­ше­ние:

Как вид­но, слож­ные про­цен­ты при­не­сли займо­дав­цу лиш­ние 1550 ру­блей. За три го­да немного, но все же сум­ма про­цен­тов у Свет­ла­ны по­лу­чи­лась на 1/10 больше, чем у Люд­ми­лы.

Ситу­а­ция ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ную, если срок кре­ди­та или займа ко­роткий — мень­ше од­но­го го­да: тут при оди­на­ко­вой став­ке заем­щик запла­тит по слож­ным про­цен­там мень­ше, чем по про­стым.

При­мер 3а. Ин­ди­ви­ду­аль­ный пред­при­ни­ма­тель Ели­сей 01.04.2017 г.

взял кре­дит на сум­му 150 000 ру­блей сро­ком на 1 год, став­ка 25% го­до­вых, про­цен­ты выпла­чи­ва­ют­ся еже­ме­сяч­но без по­га­ше­ния основ­ной сум­мы дол­га (по­сколь­ку банк на­чис­ля­ет про­цен­ты еже­днев­но и не ука­за­но иное, зна­чит, про­цен­ты упла­чи­ва­ют­ся по про­стой став­ке). Ка­кую сум­му упла­тит Ели­сей за пер­вые 3 ме­ся­ца?

Ре­ше­ние: в пер­вых 3 ме­ся­цах ука­зан­но­го пе­ри­о­да 91 день, поэто­му Ели­сей упла­тит

При­мер 3б. Ин­ди­ви­ду­аль­ный пред­при­ни­ма­тель До­ро­фей 01.04.2017 г. взял кре­дит на сум­му 150 000 ру­блей сро­ком на 1 год, став­ка 25% го­до­вых, про­цен­ты выпла­чи­ва­ют­ся еже­квар­таль­но, на­чис­ле­ние произ­во­дит­ся по слож­ной став­ке. Ка­кую сум­му упла­тит До­ро­фей за пер­вые 3 ме­ся­ца?

Ре­ше­ние: опять-та­ки в пер­вых 3 ме­ся­цах ука­зан­но­го пе­ри­о­да 91 день, поэто­му До­ро­фей упла­тит

Как вид­но, До­ро­фей запла­тит мень­ше, чем Ели­сей.

Итак, слож­ные про­цен­ты вы­год­нее для кре­ди­то­ра на длин­ном го­ри­зонте — больше од­но­го го­да: то­гда при од­ной и той же го­до­вой про­цент­ной став­ке долж­ник по фор­му­ле слож­ных про­цен­тов запла­тит больше, чем по фор­му­ле про­стых про­цен­тов. А на пе­ри­о­дах мень­ше го­да, нао­бо­рот, слож­ные про­цен­ты вы­год­нее долж­ни­ку, чем про­стые, если став­ка вы­ра­же­на в про­цен­тах го­до­вых.

Все рас­че­ты та­ко­го ро­да, ко­неч­но, удоб­но де­лать не вруч­ную, а с по­мо­щью компью­тер­ных про­грамм, напри­мер, всем из­вестно­го Ex­cel.

Видео:Формула сложного процентаСкачать

Формула простых и сложных процентов: как это работает

Данная тема относится к основам финансовой грамотности и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег.

В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием капитализации. А в инвестициях часто используют слово «реинвестирование».

Что такое сложный процент?

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование — это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

https://www.youtube.com/watch?v=EEWnFs6Nu10

Сложный процент — это процент начисленный на процент

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Формула простых и сложных процентов на малом периоде имеет незначительную разницу. Рассмотрим примеры.

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано «с ежегодной капитализацией процентов». Те же — 10% годовых, срок тот же — 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Как начинающему инвестору получить высокую доходность? Как вкладывать в самые надежные инструменты в стране? Смотрите бесплатный вебинар «Первый шаг от депозитов к инвестированию»

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S — сумма, которую вы снимете в конце n — временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

Нужно найти:

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

Нужно найти:

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% — это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 — это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Пример расчета с реальным банковским вкладом

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g — ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g=0,08
d — количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y — кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие «геометрическая прогрессия» помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах «сложный процент» сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

https://www.youtube.com/watch?v=sFStiPDvw8c

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная — 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% — государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% — самый щедрый банковский вклад
• 15% — смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% — такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие. Для этого наш сайт real-investment.net и создан. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать.

Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об индексном инвестировании, а точнее записи этого вебинара.

Подробнее о том, как купить акции частному лицу

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Заключение

Описанные формулы простых и сложных процентов построения капитала активно используются во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

Видео:Простые и сложные процентыСкачать

Простые и сложные проценты

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной — сложные процентные ставки.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

Наращение по простой процентной ставке:

, (1)

где S – наращенная сумма; P – первоначальная сумма, n – срок, r – ставка наращения (десятичная дробь).

Наращение по сложной процентной ставке:

, (2)

где j — сложная процентная ставка; n — число лет наращения, m – число начислений процентов в году.

https://www.youtube.com/watch?v=er84ZZ_ryHM

Номинальная ставка – это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

Наращение по непрерывной процентной ставке:

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста ( ). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

, (3)

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта.

Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды.

В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты — дисконтом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (4)

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой).

Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока.

При этом применяется учетная ставка d.

, (5)

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении .

Ставка Прямая задача Обратная задача

r (6)

d .

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки

Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

, (7) , (8)

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

, (9) , (10)

Определение срока платежа и сложных процентных ставок

Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

, (11)

Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:

, (12)

Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

, (13)

Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :

, (14)

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. – называют потоки платежей.

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

https://www.youtube.com/watch?v=DKyj6qRj9U8

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты — размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P — срочные (P – количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма –сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом – как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где — дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.

.

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ j ) и первым членом R.

, (18)

При начислении процентов m раз в году то:

; (19)

Если платежи осуществляются в начале периодов то

; (20)

При начислении процентов m раз в году то:

; (21)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

, (22)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты и обозначается :

При , (23)

В этом случае: , (24)

При дисконтировании m раз в году:

, (25)

Определение срока ренты

P = 1

m = 1

p = 1

m > 1

P > 1

m = 1

m = p

m¹p

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут дробные. Для годовой ренты в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации.

Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением суммы члена ренты.

🎦 Видео

Расчет сложных процентов (4 примера)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№4 - Прогрессии и сложные проценты.)Скачать

Простые и сложные процентыСкачать

ВСД02. Простые и сложные проценты. Просто о сложном.Скачать

Что такое сложный процент? Капитализация.Скачать

#5. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫСкачать

Финансовая грамотность. Простые и сложные проценты.Скачать

#4. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫСкачать

Проценты. Как считать проценты? | МатематикаСкачать

9 класс. Формула сложных процентовСкачать

Сложные проценты.Скачать

ЕГЭ по математике - Сложные процентыСкачать

Простые и сложные процентыСкачать

Сложный процент понятным языком. Магия сложного процента.Скачать

ВСД03. Простые и сложные проценты. Внутригодовые начисления!Скачать